Eclats de vers : Matemat : Proportions géométriques

Deux triangles sont dits semblables si les rapports de leurs côtés correspondants sont les mêmes, et si leurs angles correspondants de même amplitude. Le schéma ci-dessous nous en montre un exemple :

avec :

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \]

et :

\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]

\[ \beta_1 = \beta_2 \]

\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]

Soit la relation :

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \]

Multiplions par \(a_2 \cdot b_2\) :

\[ a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1 \]

puis divisons par \(b_1 \cdot b_2\) :

\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} \]

On obtient par un raisonnement similaire :

\[ \frac{a_1}{c_1} = \frac{a_2}{c_2} \]

\[ \frac{b_1}{c_1} = \frac{b_2}{c_2} \]

Les rapports entre les longueurs des côtés sont les mêmes dans les deux triangles.

Pour que deux triangles soient semblables, chaque condition ci-dessous est suffisante :

• les trois côtés correspondants sont de longueurs proportionnelles :

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \]

• deux angles correspondants sont de même amplitude, par exemple :

\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]

\[ \beta_1 = \beta_2 \]

Remarquons que, dans ce cas, les troisièmes angles sont forcément de même amplitude :

\[ \gamma_2 = \pi - \alpha_2 - \beta_2 = \pi - \alpha_1 - \beta_1 = \gamma_1 \]

• deux côtés correspondants sont de longueurs proportionnelles et les angles qu’ils forment sont de même amplitude, par exemple :

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \]

et :

\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]

Examinons le rectangle \(ABCD\) ci-dessous :

On dit que \(ABCD\) est un rectangle doré si on peut le partitionner en :

• un carré \(ABFE\)
• un rectangle \(EFCD\) qui possède la même forme que le rectangle \(ABCD\) d’origine

Le rapport de la longueur à la largeur doit donc être le même dans les rectangles \(ABCD\) et \(EFCD\) :

\[ \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \]

c’est-à-dire :

\[ 1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \]

En posant :

\[ \phi = \frac{a}{b} \]

l’identité entre les rapports de longueurs devient :

\[ 1 + \unsur{\phi} = \phi \]

En multipliant le tout par \(\phi\), on arrive à l’équation :

\[ \phi + 1 = \phi^2 \]

ou encore :

\[ \phi^2 - \phi - 1 = 0 \]

Le rapport de longueurs \(\phi\) qui respecte cette équation est appelé nombre d’or.

On cherche un nombre \(\phi\) réel positif tel que :

\[ \phi^2 - \phi - 1 = 0 \]

Le discriminant de cette équation s’écrit :

\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \]

On en déduit les solutions possibles pour \(\phi\) :

\[ \phi_+ = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]

\[ \phi_- = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \]

Comme \(\phi\) est un rapport de longueur, il est forcément positif et il faut rejeter la seconde solution. Le nombre d’or s’écrit donc :

\[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]

Divisons l’équation :

\[ \phi^2 - \phi - 1 = 0 \]

par \(\phi\) :

\[ \phi - 1 - \unsur{\phi} = 0 \]

puis isolons \(1/\phi\) :

\[ \unsur{\phi} = \phi - 1 \]

Il suffit d’enlever \(1\) au nombre d’or pour obtenir son inverse multiplicatif.

L’expression du carré de \(\phi\) vient directement de la définition :

\[ \phi^2 = \phi + 1 \]

On a :

\begin{align*} \phi^3 &= \phi \cdot \phi^2 \\ &= \phi \cdot (\phi + 1) \\ &= \phi^2 + \phi \\ &= \phi + 1 + \phi \end{align*}

et finalement :

\[ \phi^3 = 2 \ \phi + 1 \]

On a :

\begin{align*} \unsur{\phi^2} &= (\phi - 1)^2 \\ &= \phi^2 - 2 \ \phi + 1 \\ &= \phi + 1 - 2 \ \phi + 1 \end{align*}

et finalement :

\[ \unsur{\phi^2} = 2 - \phi \]

On a :

\begin{align*} \unsur{\phi^3} &= \unsur{\phi} \cdot \unsur{\phi^2} \\ &= (\phi - 1) \ (2 - \phi) \\ &= 2 \ \phi - \phi^2 - 2 + \phi \\ &= 2 \ \phi - \phi - 1 - 2 + \phi \\ \end{align*}

et finalement :

\[ \unsur{\phi^3} = 2 \ \phi - 3 \]

Le nombre d’or respecte l’équation :

\[ \unsur{\phi} = \phi - 1 \]

On définit le nombre d’argent \(\psi\) par une équation similaire :

\[ \unsur{\psi} = \psi - 2 \]

En multipliant par \(\psi\), on obtient :

\[ 1 = \psi^2 - 2 \ \psi \]

c’est-à-dire :

\[ \psi^2 - 2 \ \psi - 1 = 0 \]

Le discriminant de cette équation s’écrit :

\[ \Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8 \]

On en déduit les solutions possibles pour \(\psi\) :

\[ \psi_+ = \frac{2 + \sqrt{8}}{2} \]

\[ \psi_- = \frac{2 - \sqrt{8}}{2} \]

Remarquons que :

\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \ \sqrt{2} \]

Les solutions deviennent :

\[ \psi_+ = \frac{2 + 2 \ \sqrt{2}}{2} \]

\[ \psi_- = \frac{2 - 2 \ \sqrt{2}}{2} \]

ou encore :

\[ \psi_+ = 1 + \sqrt{2} \]

\[ \psi_- = 1 - \sqrt{2} \]

Comme \(\psi\) est un rapport de longueur, il est forcément positif et il faut rejeter la seconde solution. Le nombre d’argent s’écrit donc :

\[ \psi = 1 + \sqrt{2} \]

L’inverse multiplicatif du nombre d’argent est directement issu de sa définition :

\[ \unsur{\psi} = \psi - 2 \]

Le nombre d’argent est la solution positive de l’équation :

\[ \psi^2 - 2 \ \psi - 1 = 0 \]

Il suffit d’isoler \(\psi^2\) pour obtenir une expression de son carré :

\[ \psi^2 = 2 \ \psi + 1 \]

On a :

\begin{align*} \psi^3 &= \psi^2 \cdot \psi \\ &= (2 \ \psi + 1) \ \psi \\ &= 2 \ \psi^2 + \psi \\ &= 2 \ (2 \psi + 1) + \psi \\ &= 4 \ \psi + 2 + \psi \end{align*}

et finalement :

\[ \psi^3 = 5 \ \psi + 2 \]

On a :

\begin{align*} \unsur{\psi^2} &= (\psi - 2)^2 \\ &= \psi^2 - 4 \ \psi + 4 \\ &= 2 \ \psi + 1 - 4 \ \psi + 4 \\ \end{align*}

et finalement :

\[ \unsur{\psi^2} = 5 - 2 \ \psi \]