Eclats de vers : Matemat : Trigonométrie des polygones

Pendant l’étude des propriétés du pentagone, nous avons vu une méthode permettant d’obtenir la valeur du cosinus de 36°. Nous présentons ici une autre méthode, qui utilise des relations trigonométriques et algébriques.

On commence par constater que la somme des angles 72° et 18° donne 90°. Le cosinus de cet angle est donc nul :

\[ \cos(72^\circ + 18^\circ) = \cos 90^\circ = 0 \]

La formule de la somme nous donne :

\[ \cos(72^\circ + 18^\circ) = \cos 72^\circ \ \cos 18^\circ - \sin 72^\circ \ \sin 18^\circ \]

On en déduit que :

\[ \cos 72^\circ \ \cos 18^\circ - \sin 72^\circ \ \sin 18^\circ = 0 \]

ou encore :

\[ \cos 72^\circ \ \cos 18^\circ = \sin 72^\circ \ \sin 18^\circ \]

Posons :

\[ c = \cos 36^\circ \]

Nous allons rééxprimer les grandeurs ci-dessus en fonction de \(c\). Remarquons que :

\[ \sin 36^\circ = \sqrt{1 - (\cos 36^\circ)^2} = \sqrt{1 - c^2} \]

Le cosinus de 72° se réécrit :

\[ \cos 72^\circ = 2 \ (\cos 36^\circ)^2 - 1 = 2 \ c^2 - 1 \]

Le cosinus de 18° se réécrit :

\[ (\cos 18^\circ)^2 = \frac{1 + \cos 36^\circ}{2} = \frac{1 + c}{2} \]

d’où :

\[ \cos 18^\circ = \sqrt{\frac{1 + c}{2}} \]

Le sinus de 72° se réécrit :

\[ \sin 72^\circ = 2 \ \cos 36^\circ \ \sin 36^\circ = 2 \ c \ \sqrt{1 - c^2} \]

Le sinus de 18° se réécrit :

\[ (\sin 18^\circ)^2 = \frac{1 - \cos 36^\circ}{2} = \frac{1 - c}{2} \]

d’où :

\[ \sin 18^\circ = \sqrt{\frac{1 - c}{2}} \]

La relation :

\[ \cos 72^\circ \ \cos 18^\circ = \sin 72^\circ \ \sin 18^\circ \]

devient alors :

\[ (2 \ c^2 - 1) \ \sqrt{\frac{1+c}{2}} = 2 \ c \ \sqrt{1-c^2} \ \sqrt{\frac{1-c}{2}} \]

Exprimons les racines de fractions comme fractions de racines :

\[ (2 \ c^2 - 1) \ \frac{\sqrt{1+c}}{\sqrt{2}} = 2 \ c \ \sqrt{1-c^2} \ \frac{\sqrt{1-c}}{\sqrt{2}} \]

Multiplions par \(\sqrt{2}\) :

\[ (2 \ c^2 - 1) \ \sqrt{1+c} = 2 \ c \ \sqrt{1-c^2} \ \sqrt{1-c} \]

Utilisons la formule du binôme conjugué :

\[ (2 \ c^2 - 1) \ \sqrt{1+c} = 2 \ c \ \sqrt{(1-c)(1+c)} \ \sqrt{1-c} \]

Exprimons la racine carrée du produit comme produit de racines carrées :

\[ (2 \ c^2 - 1) \ \sqrt{1+c} = 2 \ c \ \sqrt{1-c} \ \sqrt{1+c} \ \sqrt{1-c} \]

Divisons par \(\sqrt{1+c}\) :

\[ 2 \ c^2 - 1 = 2 \ c \ \sqrt{1-c} \ \sqrt{1-c} \]

Exprimons le produit de racines carrées comme la racine carrée d’un produit :

\[ 2 \ c^2 - 1 = 2 \ c \ \sqrt{(1-c)^2} \]

Ce produit étant un carré, on a la racine carrée d’un carré, c’est-à-dire, autrement dit une fonction identité :

\[ 2 \ c^2 - 1 = 2 \ c \ (1-c) \]

Distribuons :

\[ 2 \ c^2 - 1 = 2 \ c - 2 \ c^2 \]

On obtient finalement une équation du second degré :

\[ 4 \ c^2 - 2 \ c - 1 = 0 \]

Le discriminant de cette équation s’écrit :

\[ \Delta = 4 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20 \]

Remarquons que :

\[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \ \sqrt{5} \]

On en déduit les solutions possibles pour \(c\) :

\[ c_+ = \frac{2 + 2 \ \sqrt{5}}{8} \]

\[ c_- = \frac{2 - 2 \ \sqrt{5}}{8} \]

ou encore :

\[ c_+ = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \]

\[ c_- = \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \]

Le cosinus de 36° étant un réel positif, on en déduit que :

\[ \cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \]

c’est-à-dire la moitié du nombre d’or :

\[ \cos 36^\circ = \frac{\phi}{2} \]

Le sinus de 36° vaut :

\[ \sin 36^\circ = \sqrt{1 - \cos 36^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\phi^2}{4}} \]

Mettons l’intérieur de la racine au même dénominateur :

\[ \sin 36^\circ = \sqrt{\frac{4 - \phi^2}{4}} \]

Faisons sortir le dénominateur de la racine :

\[ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{4 - \phi^2}}{2} \]

Comme \(\phi^2 = \phi + 1\), il vient :

\[ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{4 - \phi - 1}}{2} \]

et finalement :

\[ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{3 - \phi}}{2}\]

Pour calculer le cosinus de 72°, angle double de 36°, on utilise la formule du cosinus de l’angle double :

\[ \cos 72^\circ = 2 \ (\cos 36^\circ)^2 - 1 = \frac{2 \ \phi^2}{4} - 1 = \frac{\phi^2}{2} - 1 \]

Par définition du nombre d’or, \(\phi^2 = \phi + 1\) et on a :

\[ \cos 72^\circ = \frac{\phi + 1}{2} - 1 \]

puis :

\[ \cos 72^\circ = \frac{\phi + 1 - 2}{2} \]

et finalement :

\[ \cos 72^\circ = \frac{\phi - 1}{2} \]

Pour calculer le cosinus de 18°, angle moitié de 36°, on utilise la formule inverse du cosinus de l’angle double :

\[ (\cos 18^\circ)^2 = \frac{1 + \cos 36^\circ}{2} = \frac{1 + \phi / 2}{2} \]

Multiplions par deux le numérateur de le dénominateur de la fraction du membre de droite :

\[ (\cos 18^\circ)^2 = \frac{2 + \phi}{4} \]

puis prenons la racine :

\[ \cos 18^\circ = \sqrt{\frac{2 + \phi}{4}} \]

et faisons sortir le dénominateur :

\[ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{\phi + 2}}{2} \]

La tangente de 36° vaut :

\[ \tan 36^\circ = \frac{\sin 36^\circ}{\cos 36^\circ} = \frac{\sqrt{3 - \phi}/2}{\phi / 2} \]

Multiplions numérateur et dénominateur de la fraction du membre de droite par \(2\) :

\[ \tan 36^\circ = \frac{\sqrt{3 - \phi}}{\phi} \]

Faisons renter le dénominateur dans la racine :

\[ \tan 36^\circ = \sqrt{\frac{3 - \phi}{\phi^2}} = \sqrt{\frac{3}{\phi^2} - \unsur{\phi}} \]

Nous avons vu dans la section sur le nombre d’or que :

\[ \unsur{\phi} = \phi - 1 \qquad\qquad\qquad \unsur{\phi^2} = 2 - \phi \]

La relation précédente devient donc :

\[ \tan 36^\circ = \sqrt{3 \ (2 - \phi) - (\phi - 1)} = \sqrt{6 - 3 \ \phi - \phi + 1} \]

et finalement :

\[ \tan 36^\circ = \sqrt{7 - 4 \ \phi} \]

La relation fondamentale de la tangente nous donne :

\[ \tan 72° = \frac{\sin 72°}{\cos 72°} \]

Nous pouvons remplacer les sinus et cosinus de 72° par les valeurs déjkà obtenues :

\[ \tan 72° = \frac{\sqrt{\phi + 2}/2}{(\phi - 1)/2} \]

Multiplions numérateur et dénominateur de la fraction du membre de droite par \(2\) :

\[ \tan 72° = \frac{\sqrt{\phi + 2}}{\phi - 1} \]

Multiplions la relation :

\[ \unsur{\phi} = \phi - 1 \]

par \(\phi/(\phi - 1)\). on obtient :

\[ \unsur{\phi - 1} = \phi \]

L’expression de la tangente devient donc :

\[ \tan 72° = \phi \ \sqrt{\phi + 2} \]

Faisons rentrer \(\phi\) dans la racine carrée :

\[ \tan 72° = \sqrt{\phi^2 \ (\phi + 2)} \]

Remplaçons \(\phi^2\) par \(\phi + 1\) :

\[ \tan 72° = \sqrt{(\phi + 1) \ (\phi + 2)} \]

Distribuons :

\[ \tan 72° = \sqrt{\phi^2 + 2 \ \phi + \phi + 1} \]

ou encore :

\[ \tan 72° = \sqrt{\phi + 1 + 2 \ \phi + \phi + 1} \]

On a finalement :

\[ \tan 72° = \sqrt{4 \ \phi + 3} \]

La formule du carré du cosinus de l’angle moitié nous donne :

\[ \big[ \cos 22.5^\circ \big]^2 = \frac{1 + \cos 45^\circ}{2} \]

Comme le cosinus de 45° vaut \(\sqrt{2}/2\), cette relation devient :

\[ \big[ \cos 22.5^\circ \big]^2 = \frac{1 + \sqrt{2}/2}{2} \]

ou encore :

\[ \big[ \cos 22.5^\circ \big]^2 = \frac{(2 + \sqrt{2})/2}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]

Prenons la racine carrée. Comme le cosinus de 22.5° est manifestement un réel positif, on a :

\[ \cos 22.5° = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \]

Le nombre dans la racine du numérateur peut s’exprimer en fonction du nombre d’argent :

\[ 2 + \sqrt{2} = 1 + (1 + \sqrt{2}) = 1 + \psi \]

On a donc finalement :

\[ \cos 22.5° = \frac{\sqrt{\psi + 1}}{2} \]

La relation fondamentale entre sinus et cosinus nous donne :

\[ \big[ \sin 22.5° \big]^2 = 1 - \big[ \cos 22.5° \big]^2 = 1 - \frac{\psi + 1}{4} \]

Mettons les termes du membre de droite au même dénominateur :

\[ \big[ \sin 22.5° \big]^2 = \frac{4 - (\psi + 1)}{4} \]

On a donc :

\[ \big[ \sin 22.5° \big]^2 = \frac{4 - \psi - 1}{4} \]

ou encore :

\[ \big[ \sin 22.5° \big]^2 = \frac{3 - \psi}{4} \]

Ce qui nous donne la valeur du sinus de 22.5° en prenant la racine carrée :

\[ \sin 22.5° = \frac{\sqrt{3 - \psi}}{2} \]

Pendant l’étude des propriétés de l’octogone, nous avons vu une méthode permettant d’obtenir la valeur de la tangente de 67.5°.

Nous pouvons retrouver ce résultat par la relation fondamentale de la tangente :

\[ \tan 67.5^\circ = \frac{\sin 67.5^\circ}{\cos 67.5^\circ} \]

Remplaçons le sinus et le cosinus par les valeurs obtenues plut tôt :

\[ \tan 67.5^\circ = \frac{\sqrt{\psi + 1}/2}{\sqrt{3 - \psi}/2} \]

Multiplions numérateur et dénominateur de la fraction du membre de droite par \(2\) :

\[ \tan 67.5^\circ = \frac{\sqrt{\psi + 1}}{\sqrt{3 - \psi}} \]

Exprimons la fraction de racines carrées comme la racine carrée d’une fraction :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{\psi + 1}{3 - \psi}} \]

Remplaçons le nombre d’argent par sa valeur :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{1 + 1 + \sqrt{2}}{3 - (1 - \sqrt{2})}} \]

Il vient :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{1 + 1 + \sqrt{2}}{3 - 1 + \sqrt{2}}} \]

puis :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} \]

Multiplions numérateur et dénominateur de la fraction du membre de droite par \(2 + \sqrt{2}\) :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}} \]

Utilisons la formule du binôme conjugué :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{4 - 2}} \]

ou encore :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2}} \]

Exprimons la racine carrée de la fraction comme une fraction de racines carrées :

\[ \tan 67.5^\circ = \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2})^2}}{\sqrt{2}} \]

La racine carrée d’un carrée étant la fonction identité, on a :

\[ \tan 67.5^\circ = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

c’est-à-dire :

\[ \tan 67.5^\circ = \sqrt{2} + 1 \]

qui n’est rien d’autre que le nombre d’argent :

\[ \tan 67.5^\circ = \psi \]